これは、「DircetX9.0c」が入っていない時に出てくるエラーメッセージなので、 「DircetX9.0c」を入れることで解決することがあります。 以下に手順をメモします。
DirectXの最新版が入っていても必要なことも
Windows10 の場合、DircetX9.0 よりも上位版のDircetXが入っていると思います。
(11、12など9よりも数字が大きいもの)
すると「ちゃんと入っているのになぜ?」と感じてしまうかもしれませんが、例えDirectXの最新版が入っていたとしても、 使用したいソフトウェア等がDirectX9.0cでないと入っていないファイルを必要としている場合、エラーが出てしまいます。
そのため、最新版のDirectXが入っていたとしても「d3dx9_43.dllがないため、プログラムが開始できません」というエラーメッセージが出たらDirectX9.0cをインストールしてみましょう~
DirectX9.0cのインストール手順
Microsoft公式サイトから「DirectX End-User Runtimes(June 2010)」をダウンロードします。
https://www.microsoft.com/en-us/download/details.aspx?id=8109
私は試していませんが、「DirectX End-User Runtimes (March 2009) – 日本語」でも良いかもしれません。
https://www.microsoft.com/ja-jp/download/details.aspx?id=19743

言語は英語一択なので、そのまま「Download」をクリックします。

「ファイルを保存」をクリックして、保存場所を指定(任意)します。

先ほど指定した場所に「directx_Jun2010_redist.exe」というファイルがダウンロードされたら、ダブルクリックします。

規約に同意したら、「Yes」をクリックします。

① クリックしてファイルを保存する場所(任意)を指定します。
※大量のファイルが解凍されるので、保存したい場所を決めたらフォルダを作ってそこを指定したほうが良いと思います。今回はわかりやすくDirectX9.0というフォルダ名にしてみました。
②保存場所を決めたら「OK」をクリックします。

解凍されるのを待ちます。

解凍された大量のファイルの中から「DXSETUP.exe」というファイルを探してダブルクリックします。
→「このアプリがデバイスに変更を加えることを許可しますか?」という画面が出てきたら「はい」をクリックします。

使用許諾契約に同意した上で「次へ」をクリックします。

「次へ」をクリックします。

このような画面になったら終了するまでしばらく待ちます。

インストール完了画面に切り替わったら「完了」をクリックして画面を閉じます。
次にエラーメッセージの出ていたソフトウェアを起動して、 「d3dx9_43.dllがないため、プログラムが開始できません」 と表示されなくなったか確認してみましょー!
番外編:インストールされているDirectXのバージョンを確認する方法

「スタート」の隣の検索ボックスに「dxdiag」と入力して、検索結果に表示されたらクリックして開きます。

もしこのようなポップアップが表示された場合は「はい」をクリックします。

最初に開かれるページに「DirectX バージョン」という項目があるので、そこで確認できます。なんとなくこれは隠さなくてもいいのでは、というところまで隠してしまった。。。
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